Сразу видно что в твоём детстве качели прошли стороной)
Скрытый текстЗадача
Вспомните, как вы в детстве качались на качелях. Сначала вы просто сидели на качелях и вас кто-то раскачивал, а потом вы научились раскачиваться сами. Это можно делать двумя способами — сидя или стоя на качелях. Когда качели кто-то качает, физический механизм ясен: периодически прикладывая к качелям силу в направлении их движения, этот кто-то вызывает их ускорение и увеличивает скорость качания. А когда вы сами качаетесь стоя, вы периодически приседаете, и сила толчков прикладывается в направлении, перпендикулярном направлению движения качелей! Почему же при этом качели раскачиваются?
Подсказка
Если качели находятся в строго вертикальном положении, приседанием их раскачать невозможно. Рассмотрите ситуацию, когда качели уже качаются. Каково будет влияние периодического приседания в этом случае? Подумайте, в какие моменты надо приседать, а в какие надо распрямлять ноги.
Решение
Рассмотрим в качестве модели качелей маятник переменной длины. Когда качающийся приседает, его центр тяжести опускается, и длина маятника увеличивается. Когда качающийся распрямляет ноги, центр тяжести поднимается, и длина маятника уменьшается.
Пусть наш маятник уже качается с небольшой амплитудой. Мгновенно уменьшим длину маятника в момент прохождения им нижней точки. Из закона сохранения момента импульса следует, что при этом произведение скорости маятника на его длину не изменится. Таким образом, скорость маятника — и, соответственно, энергия — возрастет. Обладая большей энергией, маятник отклонится на больший угол. В момент наибольшего отклонения длину маятника можно вернуть к исходной величине. Повторяя процесс периодически, можно раскачивать маятник всё сильнее.
Маятник переменной длины
Можно привести и математический расчет. Пусть в нижней точке длина маятника изменяется от величины L1 к величине L2 < L1. Тогда скорость маятника возрастает: v2 = v1·L1/L2. Применяя закон сохранения энергии и считая углы малыми, можно найти величины отклонений φ1 и φ2: φi = vi/(gLi)1/2, где i = 1, 2. Отсюда φ2/φ1 = (L1/L2)3/2. То есть, например, если изменять длину маятника на 10%, увеличение амплитуды составит около 15% за один проход, или около 30% за период.
Вернемся теперь от модели к исходной задаче. Становится ясно, что качели будут раскачиваться, если приседать в моменты максимального отклонения, а распрямлять ноги в момент прохода нижней точки. Для оценки рассмотрим ситуацию, когда расстояние от оси качелей до центра тяжести системы «качающийся + качели» составляет 2 метра, а приседает он так, что центр масс опускается на 20 см. Тогда, по формуле из предыдущего параграфа, раскачка происходит со скоростью около 30% за период, то есть довольно быстро.
Подумайте также над следующими вопросами. Во-первых, за счет чего происходит увеличение энергии качелей? Во-вторых, разобравшись с качанием стоя, попробуйте описать механизм качания сидя, когда качающийся сидит на качелях и периодически сгибает-разгибает ноги и перемещает туловище. Ответы можно писать в комментариях к задаче.
Послесловие
Описанное в задаче явление — частный случай так называемого параметрического резонанса. Резонанс обычный — это раскачивание системы периодическим внешним воздействием. А резонанс параметрический — это раскачивание путем периодического изменения параметров системы. В данном случае — расстояния от оси качелей до центра тяжести качающегося, или длины маятника.
Параметрический резонанс имеет ряд отличий от обычного резонанса. Во-первых, отличаются частоты, на которых наблюдается резонанс. Так, при раскачивании внешней силой наиболее эффективным будет подталкивать качели каждый раз, когда они проходят нижнюю точку. Таким образом, частота воздействия равна собственной частоте системы. При параметрической раскачке, как мы видели, наиболее эффективно уменьшать длину маятника дважды за период. Таким образом, резонанс возникает на удвоенной собственной частоте.
Вторая особенность заключается в том, что для возникновения параметрического резонанса в системе изначально должны быть колебания. Параметрическая раскачка усиливает их амплитуду, но не способна породить колебания, если они изначально отсутствовали. На практике роль таких «затравочных» колебаний могут играть неизбежные случайные отклонения.
Параметрический резонанс используется не только при качании на качелях, но и во многих областях современной науки и техники. Широко применяются параметрические усилители слабых радиосигналов, например в радиоастрономии и радиолокации. Другой пример — сверхмощные лазеры на основе оптических параметрических усилителей. В таких лазерах относительно слабый «затравочный» сигнал попадает в специальный кристалл, где он многократно усиливается с помощью параметрического резонанса.
Скрытый текстПоворот с ускорением
Итак, давайте немного отвлечемся и вспомним, как летом мы раскачиваемся на качелях - больших парковых качелях-лодках. Представьте себе – вот качели, постепенно замедляясь, летят наверх. В тот миг, когда они зависают в верхней точке, мы приседаем и вот уже мчимся вниз, так что ветер свистит в ушах. Внизу, когда перегрузка максимальна, встаем и снова, с замиранием сердца, наверх, уже чуть выше, чем в прошлый раз. (рис.3). Центр тяжести системы описывает при раскачивании спираль.
Раскачивание колебательной системы за счет изменения ее параметров (на качелях это расстояние от точки подвеса до центра тяжести) называется параметрическим резонансом. Вставая в нижней точке, мы совершаем положительную работу против суммы силы тяжести и центробежной силы инерции. В верхней же точке центробежная сила инерции равна нулю. Поэтому отрицательная работа при приседании меньше. Полная работа, совершенная за цикл, положительна, и энергия системы растет, потому что когда качели взлетают вверх, человек приседает, как бы опуская их вниз, предавая ещё большее ускорение. Когда качели внизу он поднимает, неся свой центр тяжести вверх, также сообщая качелям ускорение.
(рис.3)
А теперь попробуем прикинуть энергетический баланс горнолыжника, как мы только что это сделали для качелей. До сих пор мы не заботились особенно о балансе энергии и думали только о том, как сократить потери и выиграть скорость. В этой теоретической гонке за секундами немудрено было и перегнуть палку. Настало время поставить все на свои места.
При движении по дуге на лыжника тоже действуют сила тяжести и центробежная сила инерции (рис.4). В начале поворота их равнодействующая минимальна, а в конце дуги максимальна. Приседая, лыжник совершает отрицательную работу, а вставая положительную. Однако, когда он разгибается в начале пути на него действует меньшая сила, чем при приседании в конце.
Рис.4. Равнодействующие сил тяжести и центробежной в начале и в конце дуги: F1, меньше F2.
Лыжник совершает работу обратную той работе, которая препятствует движению. Таким образом, придавая ускорение, так же как на примере с качелями. Свобода движений и уникальные динамические возможности отличают горные лыжи от санок и бобслея. Только не обольщайтесь, ведь наша теоретическая модель «сесть - встать на два счета» предельно упрощена. Учиться плавать надо в воде. И не было еще на свете лыжника, не измерившего собой пару-тройку больших сугробов.
Поскольку ты изучил теорию качелей, то теперь моя очередь тебе задавать вопросы
-где на траектории поворота лыжник может ускоряться, каким образом и почему
